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Die Diskalgebra (manchmal auch Discalgebra) ist eine in den mathematischen Teilgebieten Funktionalanalysis und Funktionentheorie betrachtete Algebra. Viele funktionalanalytische Eigenschaften der Diskalgebra sind direkte Folgen funktionentheoretischer Sätze.

• Definition

• Der Gelfandraum

• Die Nicht-Regularität der Diskalgebra

• Der Schilowrand

• Maximalität

• Einzelnachweise

Bezeichnet D := { z ∈ ∈ C ; | z | ≤ ≤ 1 } {\displaystyle \mathbb {D} :=\{z\in \mathbb {C} ;\,|z|\leq 1\}} die Kreisscheibe, so sei A ( D ) {\displaystyle A(\mathbb {D} )} die Menge aller stetigen Funktionen f : D → → C {\displaystyle f:\mathbb {D} \rightarrow \mathbb {C} } , die im Inneren D ∘ ∘ {\displaystyle \mathbb {D} ^{\circ }} holomorph sind.

Die Definitionen

( λ λ f ) ( z ) := λ λ f ( z ) ( f + g ) ( z ) := f ( z ) + g ( z ) ( f g ) ( z ) := f ( z ) g ( z ) ( f ∗ ∗ ) ( z ) := f ( z ¯ ¯ ) ¯ ¯ {\displaystyle {\begin{array}{rcl}(\lambda f)(z)&:=&\lambda f(z)\\(f+g)(z)&:=&f(z)+g(z)\\(fg)(z)&:=&f(z)g(z)\\(f^{*})(z)&:=&{\overline {f({\overline {z}})}}\\\end{array}}} ,

wobei λ λ ∈ ∈ C , z ∈ ∈ D , f , g ∈ ∈ A ( D ) {\displaystyle \lambda \in \mathbb {C} ,z\in \mathbb {D} ,f,g\in A(\mathbb {D} )} , machen A ( D ) {\displaystyle A(\mathbb {D} )} zu einer komplexen Algebra mit Involution ∗ ∗ {\displaystyle *} . Diese wird Diskalgebra genannt.cite-ref-1[1]

Offenbar ist A ( D ) {\displaystyle A(\mathbb {D} )} eine Unteralgebra der Funktionenalgebra C ( D ) {\displaystyle C(\mathbb {D} )} der stetigen Funktionen D → → C {\displaystyle \mathbb {D} \rightarrow \mathbb {C} } . Die Diskalgebra A ( D ) {\displaystyle A(\mathbb {D} )} ist bezüglich der Maximumsnorm, die C ( D ) {\displaystyle C(\mathbb {D} )} zu einer Banachalgebra macht, abgeschlossen, denn nach dem weierstraßschen Konvergenzsatz sind gleichmäßige Limiten holomorpher Funktionen ebenfalls holomorph. Der Funktionenraum A ( D ) {\displaystyle A(\mathbb {D} )} ist daher selbst eine Banachalgebra, sogar mit isometrischer Involution, das heißt, es gilt ‖ ‖ f ∗ ∗ ‖ ‖ = ‖ ‖ f ‖ ‖ {\displaystyle \|f^{*}\|=\|f\|} für alle f ∈ ∈ A ( D ) {\displaystyle f\in A(\mathbb {D} )} . Die Diskalgebra ist auch Unterbanachalgebra von H ∞ ∞ {\displaystyle H^{\infty }} , der Banachalgebra aller auf D ∘ ∘ {\displaystyle \mathbb {D} ^{\circ }} holomorphen und beschränkten Funktionen mit der Supremumsnorm.

Mittels Einschränkung auf den Rand ∂ ∂ D {\displaystyle \partial \mathbb {D} } von D {\displaystyle \mathbb {D} } erhält man eine Abbildung A ( D ) → → C ( ∂ ∂ D ) , f ↦ ↦ f | ∂ ∂ D {\displaystyle A(\mathbb {D} )\rightarrow C(\partial \mathbb {D} ),\,f\mapsto f|_{\partial \mathbb {D} }} . Diese Abbildung ist nach dem Maximumprinzip für holomorphe Funktionen ein isometrischer Homomorphismus. In diesem Sinne kann man A ( D ) {\displaystyle A(\mathbb {D} )} auch als Unterbanachalgebra von C ( ∂ ∂ D ) {\displaystyle C(\partial \mathbb {D} )} auffassen, das heißt die Diskalgebra wird zu einer uniformen Algebra über ∂ ∂ D {\displaystyle {\partial \mathbb {D} }} . A ( D ) {\displaystyle A(\mathbb {D} )} ist dann die Menge aller stetigen Funktionen auf ∂ ∂ D {\displaystyle \partial \mathbb {D} } , die sich holomorph nach D ∘ ∘ {\displaystyle \mathbb {D} ^{\circ }} fortsetzen lassen. Dies wäre eine alternative Definition der Diskalgebra.

Die Diskalgebra wird von i d D {\displaystyle \mathrm {id} _{\mathbb {D} }} erzeugt, das heißt, die kleinste Unterbanachalgebra, die diese Funktion enthält, ist die Diskalgebra selbst.cite-ref-2[2]

Für jedes z ∈ ∈ D {\displaystyle z\in \mathbb {D} } ist die Punktauswertung δ δ z : A ( D ) → → C , f ↦ ↦ f ( z ) {\displaystyle \delta _{z}:A(\mathbb {D} )\rightarrow \mathbb {C} ,\,f\mapsto f(z)} ein Homomorphismus und damit ein Element des Gelfand-Raums X A ( D ) {\displaystyle X_{A(\mathbb {D} )}} der Diskalgebra. Man kann zeigen, dass mit den δ δ z {\displaystyle \delta _{z}} bereits alle Homomorphismen der Diskalgebra mit Werten in den komplexen Zahlen gefunden sind, und dass die Abbildung δ δ : : D → → X A ( D ) , z ↦ ↦ δ δ z {\displaystyle \delta \colon \mathbb {D} \rightarrow X_{A(\mathbb {D} )},\,z\mapsto \delta _{z}} ein Homöomorphismus ist, wobei die sogenannte Gelfandtopologie durch die relative schwach-*-Topologie auf X a ⊂ ⊂ A ′ ′ {\displaystyle X_{a}\subset A^{\prime }} gegeben ist. Der Gelfandraum der Diskalgebra kann daher mit der Kreisscheibe identifiziert werden. Bei dieser Identifikation ist die Gelfand-Transformation die Identität auf der Diskalgebra.

Auf dem Gelfandraum X A {\displaystyle X_{A}} einer kommutativen Banachalgebra betrachtet man die sogenannte Hülle-Kern-Topologie, die durch die Abschlussoperation

E ¯ ¯ := { δ δ ∈ ∈ X A ; ker ⁡ ⁡ ( δ δ ) ⊃ ⊃ ⋂ ⋂ φ φ ∈ ∈ E ker ⁡ ⁡ ( φ φ ) } {\displaystyle {\overline {E}}:=\{\delta \in X_{A};\,\ker(\delta )\supset \bigcap _{\varphi \in E}\ker(\varphi )\}}

gegeben ist. Fällt diese mit der Gelfandtopologie zusammen, so nennt man die Banachalgebra regulär. Die Diskalgebra ist ein Beispiel für eine nicht-reguläre Banachalgebra.cite-ref-3[3] In der Tat ist bei der Identifikation X A ( D ) = D {\displaystyle X_{A(\mathbb {D} )}=\mathbb {D} } die Menge E := { 0 } ∪ ∪ { 1 n ; n ∈ ∈ N } {\displaystyle E:=\{0\}\cup \{{\tfrac {1}{n}};\,n\in \mathbb {N} \}} abgeschlossen in der Gelfandtopologie. Ist nun f ∈ ∈ ⋂ ⋂ n ∈ ∈ N ker ⁡ ⁡ ( δ δ 1 n ) {\displaystyle \textstyle f\in \bigcap _{n\in \mathbb {N} }\ker(\delta _{\frac {1}{n}})} , so folgt f ( 1 n ) = 0 {\displaystyle f({\tfrac {1}{n}})=0} für alle n {\displaystyle n} , und aus dem Identitätssatz für holomorphe Funktionen folgt f = 0 {\displaystyle f=0} . Daher ist ⋂ ⋂ φ φ ∈ ∈ E ker ⁡ ⁡ ( φ φ ) = { 0 } {\displaystyle \textstyle \bigcap _{\varphi \in E}\ker(\varphi )=\{0\}} und es folgt E ¯ ¯ = X A {\displaystyle {\overline {E}}=X_{A}} bezüglich der Hülle-Kern-Topologie, letztere kann daher nicht mit der Gelfandtopologie übereinstimmen.

Identifiziert man X A ( D ) {\displaystyle X_{A(\mathbb {D} )}} mit D {\displaystyle \mathbb {D} } , so fällt der topologische Rand ∂ ∂ D = { z ∈ ∈ C ; | z | = 1 } {\displaystyle \partial \mathbb {D} =\{z\in \mathbb {C} ;\,|z|=1\}} mit dem Schilow-Rand zusammen. Dazu ist zu zeigen, dass jede Funktion der Diskalgebra, die wegen der vorgenommenen Identifikation ja mit ihrer Gelfand-Transformierten übereinstimmt, ihr Betragsmaximum auf dem Rand der Kreisscheibe annimmt, aber das ist genau die Aussage des Maximumprinzips für holomorphe Funktionen.cite-ref-4[4]

Wie oben erwähnt kann man A ( D ) {\displaystyle A(\mathbb {D} )} mittels der Einschränkungsabbildung f ↦ ↦ f | ∂ ∂ D {\displaystyle f\mapsto f|_{\partial \mathbb {D} }} als Unterbanachalgebra von C ( ∂ ∂ D ) {\displaystyle C(\partial \mathbb {D} )} auffassen. Der Maximalitätssatz von Wermer sagt aus, dass A ( D ) ⊂ ⊂ C ( ∂ ∂ D ) {\displaystyle A(\mathbb {D} )\subset C(\partial \mathbb {D} )} eine maximale Unterbanachalgebra ist.

cite-note-11. ↑ F. F. Bonsall, J. Duncan: Complete Normed Algebras. Springer-Verlag 1973, ISBN 3-540-06386-2, §1.16

cite-note-22. ↑ F. F. Bonsall, J. Duncan: Complete Normed Algebras. Springer-Verlag 1973, ISBN 3-540-06386-2, §19.3

cite-note-33. ↑ F. F. Bonsall, J. Duncan: Complete Normed Algebras. Springer-Verlag 1973, ISBN 3-540-06386-2, §23.9

cite-note-44. ↑ F. F. Bonsall, J. Duncan: Complete Normed Algebras. Springer-Verlag 1973, ISBN 3-540-06386-2, §22.5 für n=1